GÖDEL SE EQUIVOCÓ. PARTE II

Seguimos con Kurt Gödel y sus dos famosos teoremas. En el post anterior contamos brevemente su contenido. Se viene el intento de crítica, que se encuentra en realidad en el fascinante libro de David Deutsch, The Fabric of Reality. Estén atentes.

Demostrando las Matemáticas

Los matemáticos, desde la antigüedad, han pensado que el conocimiento matemático es más cierto que cualquier otra forma de conocimiento. Supongamos que esto es cierto y ahora nos preguntamos. ¿Y cómo se prueban las verdades matemáticas? Imaginemos que existe algo llamado “teoría de la prueba”. Dado que la matemática es lo más cierto que hay, no hay más remedio que clasificar la teoría de la prueba como parte de las matemáticas, ya que un teorema matemático no podría ser cierto si la teoría que justifica su método de prueba fuera en sí misma incierta. La mala noticia es que la teoría de la prueba no es una rama de las matemáticas, sino una ciencia. Las pruebas no son abstractas y no existe algo que pruebe de manera abstracta alguna cosa.

Los teoremas de Gödel ilustran este punto. Han sido aclamados como "los primeros nuevos teoremas de la lógica pura en los últimos dos mil años". Pero eso no es así: los teoremas de Gödel tratan sobre lo que puede y no puede probarse. Y la teoría de la prueba es solo una cuestión de lógica. La nueva forma en que Gödel logró demostrar las afirmaciones generales sobre las pruebas depende a su vez de ciertas suposiciones sobre qué procesos pueden o no representar un hecho abstracto de una manera que un observador pueda entender, y ser convencido. Los resultados de Gödel fueron justificados y reconocidos no porque fueran 'pura lógica', sino porque los matemáticos encontraron que los supuestos que Gödel usó para sus pruebas eran "evidentes".

Pero estos supuestos no son verdades matemáticas. Por ejemplo, una de las suposiciones de Gödel era la tradicional de que una demostración solo puede tener un número finito de pasos (él usó un número finito, sino todavía seguiría escribiendo la prueba…). Pero la justificación para este supuesto es puramente intuitiva: como somos seres finitos que nunca podríamos comprender un número literalmente infinito de afirmaciones, aceptamos que es razonable. Pero se trata de una suposición del universo físico, y no del mundo matemático. Un ejemplito más.

Un ejemplo, animal: Aquiles y la Tortuga

En el siglo V a.C., Zenón de Elea concluyó, sobre la base de una intuición matemática, que Aquiles nunca alcanzaría a una tortuga que le sacó una mínima ventaja. La razón es que para cuando Aquiles llegue al punto donde está ahora la tortuga, ella se habrá movido un poco. Y para cuando llegue a ese nuevo punto, Manuelita se habrá movido algo más, y así sucesivamente hasta el infinito. Por lo tanto, el procedimiento de "convergencia" requiere que Aquiles realice un número infinito de pasos para alcanzarla, que como ser finito que es, no puede hacer.

Lo que muestra este ejemplo es que lo que realmente Aquiles puede hacer (superar a la tortuga) no puede descubrirse por pura lógica. Depende enteramente de lo que las leyes de la física dicen que puede hacer. Y si esas leyes dicen que él alcanzará a la tortuga, entonces la va a adelantar. 


Hay tercera y última parte. Estamos cerca. En el próximo post terminamos con el loco Gödel, todo esto sin que nadie nos dé un miserable Nóbel.