GÖDEL SE EQUIVOCÓ. PARTE III (FINAL)

En el post anterior estuvimos ahí nomás de explicitar que, para que los teoremas de Gödel tengan sentido, debemos aceptar la "intuición" de los supuestos que usó para probarlos. Esa es la crítica que hacemos, que en realidad no es a Kurt, sino a quienes creen que la propia matemática puede darnos las herramientas para probarse a sí misma. Vamos por un poco más. 

¡Gödel se equivocó! Ya pasó una vez...

La prueba de que los supuestos usados para demostrar los teoremas de Gödel se basan en intuiciones y no en “verdades matemáticas” fue lo que pasó en 1980. Parece que al menos una de las intuiciones de Gödel sobre sus procedimientos de prueba demostró ser errónea (afortunadamente este resultado no afectó las pruebas de sus teoremas). Se trata seguramente de un supuesto que él heredó intacto de la prehistoria de las matemáticas griegas, y que no había sido cuestionado por todas las generaciones de matemáticos. Pero se demostró que era falso hace 40 años gracias a los modernos descubrimientos relacionados con la teoría cuántica de la computación.

Este error fue un indicio claro de que la idea de que el método matemático tradicional elimina toda fuente posible de ambigüedad o error de nuestras intuiciones hasta que solo quede la verdad evidente por sí misma es una ilusión. 

Como ven, ya no estamos criticando a Gödel (es todo una joda, el tipo era un genio). Estamos criticando a la matemática. O más precisamente, a aquellos que dicen que la matemática demuestra verdades de nuestro conocimiento. Pero no nos apuremos, porque esta última afirmación es sutil, la vamos a desarrollar mejor con los argumentos del ya citado Deutsch.

La matemática versus la materia de estudio de la matemática

Que los matemáticos de todas las épocas hayan cometido varios errores sobre cuestiones de prueba y certeza es natural. La confianza con la que los matemáticos cometieron estos errores y su incapacidad para reconocer incluso la posibilidad de error en estos asuntos parecen estar conectados con una confusión antigua y generalizada entre los métodos de las matemáticas y su tema de estudio.

Las relaciones entre entidades abstractas están determinadas absoluta y objetivamente por las propiedades autónomas de las entidades abstractas mismas. Las matemáticas, el estudio de estas relaciones y propiedades, es por lo tanto el estudio de verdades absolutamente necesarias. En otras palabras, las verdades de la matemática son absolutamente ciertas. Tranquilos, que siempre ocurre que 2+2 = 4.

Pero eso no significa que nuestro conocimiento de esas verdades necesarias sea en sí mismo cierto, ni tampoco que los métodos de las matemáticas confieran la verdad necesaria a sus conclusiones. Después de todo, las matemáticas también estudian falsedades y paradojas, y eso no significa que las conclusiones de esos estudios sean necesariamente falsas o paradójicas.

La verdad necesaria es meramente el tema de las matemáticas, no la recompensa que recibimos por hacer matemáticas. El objetivo de las matemáticas no es, ni puede ser, la certeza matemática. Es, y debe ser, la explicación matemática.

¿Pero las matemáticas funcan o no?

Si las matemáticas no nos aseguran la verdad ¿por qué funcionan tan bien como lo hacen? ¿Por qué conducen a conclusiones que, aunque no sean ciertas, pueden aceptarse y aplicarse sin problemas durante milenios? 

En última instancia, la razón por la que le tenemos fe a la matemática es porque tenemos confianza en otra ciencia que nos parece incontrovertible a nuestros sentidos, que es la física. Y cuando entendemos el mundo físico lo suficientemente bien, también entendemos qué objetos físicos tienen propiedades en común con sus contrapartidas abstractas (matemáticas). Por lo tanto, la fiabilidad de nuestro conocimiento de las matemáticas sigue siendo subsidiario a nuestro conocimiento de la realidad física, y no al revés, como se piensa a menudo. 

Cada prueba matemática depende absolutamente para ser válida de que tengamos razón sobre las reglas que rigen el comportamiento de algunos objetos físicos, ya sean la tinta y el papel, o nuestros propios cerebros.

Conclusión

Gödel y sus teoremas demuestran la incompletitud e indecibilidad  de la mayor parte de las afirmaciones matemáticas. Pero su descubrimiento va más allá, porque si su demostración es cierta, termina por poner en tela de juicio sus propios teoremas. La razón es que él no puede usar una prueba matemática para demostrar algo sobre la matemática. La teoría de la prueba de las matemáticas no pueden ser parte de las matemáticas.

Las verdades matemáticas existen, pero no pueden conocerse con certeza. Las pruebas no confieren certeza sobre sus conclusiones. La validez de una forma particular de prueba depende de la verdad de nuestras teorías del comportamiento de los objetos con los que realizamos la prueba. Por lo tanto, el conocimiento matemático depende completamente de nuestro conocimiento de la física.