GÖDEL SE EQUIVOCÓ. PARTE I

Intro precautoria

Vamos a hablar de Gödel. Es más, vamos a criticar a Gödel. Y lo vamos a hacer sin saber casi nada de a) matemáticas, b) filosofía, c) historia de la ciencia, d) epistemología y e) lógica. En otras palabras, mis pergaminos en estos temas es casi nulo. 

Pero es este es un blog, que en inglés significa "lugar para intentarlo todo". Bueno, en realidad blog no quiere decir eso, pero lo vamos a intentar igual, y lo mejor que podemos hacer es ir lo más despacio posible para no llamar a las contradicciones y errores demasiado rápido. Para cometer la menor cantidad de fallos posibles, copiaré y aclararé lo mejor posible el pensamiento de lo que saben. Espero que mi interpretación sea razonable, y si no, pueden realizar el reclamo correspondiente en ventanilla, siempre en el horario de 13 a 11.

El loco Gödel

Casi todo lo que sé sobre Gödel lo aprendí de un libro de Rebecca Goldstein, una genia con quien tuvo la suerte de casarse un tal Steven Pinker, quien seguramente no habría sido nadie sin este matrimonio. El libro en cuestión es "Gödel, paradoja y vida", y es absolutamente maravilloso... y caro.

Gödel era un exiliado intelectual, y tenía de íntimo amigo nada menos que a Einstein, uno de los pocos que lo entendía, siendo que Albert también se sentía un exiliado. Ambos compartían animadas charlas en el camino de sus casas a la Universidad de Princeton.  

El aporte fundamental de Gödel fueron un par de teoremas (relacionados entre sí) que revolucionaron la forma de entender la lógica de la verdad y de las matemáticas. Vamos a por ellos. 

Los teoremas de Gödel

Para resumir, el matemático Kurt Gödel descubrió que casi todas las verdades matemáticas no se pueden probar, que son verdades indemostrables. De esto también se deduce que casi todas las afirmaciones matemáticas son indecidibles: no hay pruebas de que sean verdaderas ni pruebas de que sean falsas. Cada afirmación es verdadera o falsa, pero no hay forma de descubrir cuál es cuál.

Para los preciosistas, un poco de jerga: Gödel demostró primero que cualquier conjunto de reglas de inferencia que sea capaz de validar correctamente incluso las pruebas de la aritmética ordinaria, nunca podría validar una prueba de su propia consistencia. En segundo lugar, Gödel demostró que si un conjunto de reglas de inferencia en alguna rama de las matemáticas es consistente (ya sea que lo sea o no), entonces dentro de esa rama de las matemáticas deben existir métodos válidos de prueba que esas reglas no designan como válido. Esto se llama teorema de incompletitud de Gödel. Para demostrar sus teoremas, Gödel comenzó por considerar cualquier conjunto coherente de reglas de inferencia. Luego mostró cómo construir una proposición que no podría ser probada ni refutada bajo esas reglas. Luego, demostró que esa proposición sería verdadera.

Un ejemplo

Bueno, paremos con la jerga e ilustremos un poco. Consideremos la siguiente afirmación:

Pablo Mira no puede juzgar consistentemente esta afirmación como verdadera.

Pese a que lo intento desesperadamente (yo soy Pablo Mira), no logro afirmar que esta frase sea cierta. La razón es que si lo hiciera, estaría asumiendo que no puedo juzgar que es verdad, y me estaría contradiciendo a mí mismo. Pero otro que no sea yo podría entender que la afirmación es en realidad perfectamente verdadera. Esto muestra que es posible que una proposición sea al mismo tiempo incomprensible para una persona, aunque sea evidentemente cierta para el resto.

He aquí una idea de lo que quiso decir el amigo Gödel. Acá hay un caso de indecibilidad de una afirmación. Lo que vamos a hacer ahora es mirar un poco esta prueba "desde arriba", es decir, desde la perspectiva de la lógica que usó el propio Gödel. En la próxima entrega te vas a enterar por donde viene la cosa.